✎ ☛ Lever une indétermination dans un quotient

Méthode  

Pour lever une indétermination dans un quotient, il peut être judicieux de factoriser par le terme qui tend  «  le plus vite  »  vers l'infini au numérateur et le terme qui tend  «  le plus vite 
»  vers l'infini au dénominateur.  On simplifie ensuite la fraction, puis on utilise les règles sur les produits et quotients.

Énoncé 1  Cas d'une suite définie par une fraction rationnelle

Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left({\displaystyle \frac{3n-5}{2n+4}}\right)$ .

Solution

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(3n-5)=+\mathrm{\infty }$  et  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(2n+4)=+\mathrm{\infty }$

On constate que nous avons affaire à une forme indéterminée.
On va donc appliquer la méthode proposée en mettant  $n$ en facteur au numérateur et au dénominateur.

Pour tout entier naturel $n\ne 0$ , on a :  ${\displaystyle \frac{3n-5}{2n+4}={\displaystyle \frac{n(3-{\displaystyle \frac{5}{n}})}{n(2+{\displaystyle \frac{4}{n}})}}}$
${\displaystyle \frac{3n-5}{2n+4}={\displaystyle \frac{3-{\displaystyle \frac{5}{n}}}{2+{\displaystyle \frac{4}{n}}}}}$

Passons maintenant aux calculs de limites.

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(3-{\displaystyle \frac{5}{n}})=3$ et  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(2+{\displaystyle \frac{4}{n}})=2$ w

Donc par quotient $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left({\displaystyle \frac{3-{\displaystyle \frac{5}{n}}}{2+{\displaystyle \frac{4}{n}}}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ .

Énoncé 2

Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left({\displaystyle \frac{4n^2-5n+8}{6n-7}}\right)$ .

Solution

Pour tout entier naturel $n\ne 0$ , on a  ${\displaystyle \frac{4n^2+5n+8}{6n-7}={\displaystyle \frac{n^2(4+{\displaystyle \frac{5}{n}+{\displaystyle \frac{8}{n^2}}})}{n(6-{\displaystyle \frac{7}{n}})}}}$

${\displaystyle \frac{4n^2+5n+8}{6n-7}=n\times {\displaystyle \frac{4+{\displaystyle \frac{5}{n}+{\displaystyle \frac{8}{n^2}}}}{6-{\displaystyle \frac{7}{n}}}}}$

Passons maintenant aux calculs de limites.

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n=+\mathrm{\infty }$ , $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(4+{\displaystyle \frac{5}{n}+{\displaystyle \frac{8}{n^2}}})=4$  et  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(6-{\displaystyle \frac{7}{n}})=6$  

Donc par quotient et produit
$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(n\times {\displaystyle \frac{4+{\displaystyle \frac{5}{n}+{\displaystyle \frac{8}{n^2}}}}{6-{\displaystyle \frac{7}{n}}}})=+\mathrm{\infty }$ .